Question

【題目】在直角坐標系中，已知拋物線:，拋物線的準線與交于點．

（1）過作曲線的切線，設切點為， ，證明：以為直徑的圓經過點；

（2）過點作互相垂直的兩條直線、， 與曲線交于、兩點， 與曲線交于、兩點，線段， 的中點分別為、，試討論直線是否過定點？若過，求出定點的坐標；若不過，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）過定點；坐標為．

【解析】試題分析：（1）根據題意可將切線設為，聯立直線與拋物線的方程結合可得的值，根據斜率繼而可得， 的傾斜角分別為和，則，從而命題得證；（2）設出直線方程，聯立直線與拋物線的方程，運用韋達定理可得， 坐標分別為， ，寫出直線的方程即可得到最后結果.

試題解析：（1）依題意有；由切線斜率必存在且不等于零，設切線方程為； ；

，所以切線方程為和；

所以直線， 的傾斜角分別為和，則；

所以，點在以為直徑的圓上；

（2）易知直線， 的斜率存在且不為0，設直線的斜率為， ， ，

則直線： ， ，

由得，

，

∴， ，∴．

同理得．

當或時，直線的方程為；

當且時，直線的斜率為，

∴直線的方程為，即，

∴直線過定點，其坐標為．