Question

（2013•茂名一模）已知數列{a_n}，{b_n}中，a₁=b₁=1，且當n≥2時，a_n-na_n-1=0，bn=2bn-1-2n-1．記n的階乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{

bn

2n

}為等差數列；
（3）若cn=

an

an+2

+bn-2n，求{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）把遞推式a_n-na_n-1=0變形后進行循環，可以得到a_n=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!，驗證a₁成立，則數列{a_n}的通項公式可求；
（2）把給出的遞推式兩邊同時除以2ⁿ，移向整理即可證得數列{

bn

2n

}為等差數列；
（3）把數列{a_n}的通項代入

an

an+2

，把數列{b_n}的通項代入bn-2n，利用裂項相消和錯位相減法分別求出數列{

an

an+2

}和{bn-2n}的和后直接作和即可．

解答：（1）解：∵a_n-na_n-1=0（n≥2），a₁=1，
∴a_n=na_n-1=n（n-1）a_n-2=n（n-1）（n-2）a_n-3=…
=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!
又a₁=1=1!，∴a_n=n!
（2）證明：由bn=2bn-1-2n-1，兩邊同時除以2ⁿ得：

bn

2n

=

bn-1

2n-1

-

1

2

，即

bn

2n

-

bn-1

2n-1

=

1

2

．
∴數列{

bn

2n

}是以

1

2

為首項，公差為-

1

2

的等差數列，
則

bn

2n

=

1

2

+(n-1)(-

1

2

)=1-

n

2

，故bn=2n(1-

n

2

)．
（3）解：因為

an

an+2

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
bn-2n=2n(1-

n

2

)-2n=-n•2n-1．
記A_n=

a1

a3

+

a2

a4

+

a3

a5

+…+

an

an+2

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

．
記{bn-2n}的前n項和為B_n．
則Bn=-1•20-2•21-3•22-…-n•2n-1 ①
∴2Bn=-1•21-2•22-…-(n-1)•2n-1-n•2n ②
由②-①得：
Bn=20+21+22+…+2n-1-n•2n=

1-2n

1-2

-n•2n=(1-n)•2n-1．
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=An+Bn=(1-n)•2n-

1

2

-

1

n+2

．
所以數列{c_n}的前n項和為(1-n)•2n-

1

2

-

1

n+2

．

點評：本題考查了等差關系的確定，考查了等差數列和等比數列通項公式的求法，考查了利用裂項相消和錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．