Question

設函數f（x）=log₂[x²-2（a-1）x+b²]的定義域為D．
（1）若a是從1，2，3，4四個數中任取的一個數，b是從1，2，3三個數中任取一個數，求使D=R得概率
（2）若a是從區間[0，4]任取的一個數，b是從區間[0，3]任取的一個數，求使D=R的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，D=R 即△=[-2（a-1）]²-4b²＜0，即a-1＜b，由此求得滿足此條件的（a，b）共有6個．而所有的（a，b）共有4×3個，由此求得D=R的概率．
（2）由題意可得，△=[-2（a-1）]²-4b²＜0，根據a、b的范圍，只要a-1＜b就可以了．所有的（a，b）構成矩形區域OABC，再畫出b＞a-1的區域，它們相交的部分（即圖中陰影部分），再用陰影部分的面積除以矩形OABC的面積，即得所求．

解答：解：（1）由函數f（x）=log₂[x²-2（a-1）x+b²]，
D=R，可得 x²-2（a-1）x+b²]＞0恒成立，
故有△=[-2（a-1）]²-4b²＜0．
再由a、b為正整數，故只要a-1＜b就可以了．
所有的（a，b）共有4×3=12種，
∴

a=1 b=1

、或

a=1 b=2

、或

a=2 b=2

、或

a=1 b=3

、或 

a=2 b=3

、或

a=3 b=3

，共計6種情況．
故D=R的概率為

6

12

=

1

2

．
（2）由題意可得，△=[-2（a-1）]²-4b²＜0．
再由a是從區間[0，4]任取的一個數，b是從區間[0，3]任取的一個數，
故只要a-1＜b就可以了．
以a為橫坐標，b為縱坐標畫圖，畫出a屬于[0，4]，b屬于[0，3]的矩形區域OABC，
畫出b＞a-1的區域，它們相交的部分（即圖中陰影部分）的面積是4×3-

1

2

×3×3=

15

2

，
而矩形的面積是12，所以D=R的概率是

15 2

12

=

5

8

．

點評：本題主要考查幾何概型，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．