Question

設a和b是兩條異面直線．求證：

(1)過a和b分別存在平面α和β，使得α∥β；

(2)在條件(1)中α和β間的距離即是異面直線a和b間的距離．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)在直線a上任取一點P，由于a和b是異面直線， ∴， 從而由P和b可以確定平面γ，可以在γ內過P作b′∥b， 由于a∩b′=P，可設a和b′確定的平面為α， ∴b∥α， 同理可在b上取一點Q，在由a與Q確定的平面內過Q作直線a′∥a，則a′∥α， 且a′∩b=Q，記由a′與b確定的平面為β，則由判定定理知α∥β，故證； (2)設AB是異面直線a和b的公垂線段，則AB⊥a，且AB⊥b， 由(1)知，a′∥a，∴AB⊥a′， 即AB與平面β內的兩條相交直線a′和b都垂直， ∴AB⊥β， 同理可證AB⊥α，這說明AB也是兩個平面α和β間的距離．