Question

【題目】已知圓，直線過點.

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓交于， 兩點，求使得面積最大的直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或.

【解析】試題分析：(1)設直線的方程,根據點到直線的距離等于半徑,求出斜率,注意切線斜率不存在的情況; (2)設直線,由點到直線的距離公式及直線與圓相交時的弦長公式,求出面積的表達式,由二次函數的最大值,求出斜率,得到直線的方程.

試題解析：

（1）①當直線的斜率存在時，設為，則直線的方程為，整理得.因為直線與圓相切，所以，解得，所以此時直線的方程為.

②當直線的斜率不存在時，其方程為，與圓相切，適合題意.

綜上，直線的方程為或.

（2）由（1）可知當直線與圓相交時，它的斜率一定存在，設其方程為.

因為圓心到直線的距離， ，所以的面積為

，所以當時， 的面積取得最大值.

由，整理得，解得或.

所以直線的方程為或.

點睛: 本題主要考查了有關圓的相關知識,屬于中檔題.思路: (1)由于點(5,0)在圓外,所以過點(5,0)作圓的切線一定有兩條,若假設直線的斜率存在,算出來只有一個值,則直線的斜率不存時也符合; (2)三角形的面積用來表示,開口向下的二次函數在對稱軸出取最大值,求出的值,得到直線的方程.