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（本題滿分10分）對于正整數≥2，用表示關于的一元二次方程有實數根的有序數組的組數，其中（和可以相等）；對于隨機選取的（和可以相等），記為關于的一元二次方程有實數根的概率。（1）求和；（2）求證：對任意正整數≥2，有.

 

【答案】

 

【解析】 [必做題]本小題主要考查概率的基本知識和記數原理，考查探究能力。滿分10分。

（1）因為方程有實數根，所以。

當時，有，又b，故總有，此時a有種取法，b有n2種取法，所以共有組有序數組（a，b）滿足條件。

當時，滿足的b有a2個，故共有組有序數組（a，b）滿足條件。

（2）我們只需證明：對于隨機選取的a，b，方程無實數根的概率。若方程無實數根，則，由。因此，滿足的有序數組（a，b）的組數小于，從而，方程無實數根的概率。所以。

 

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（本題滿分10分）在中，角的對邊分別為，.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面積.

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（1）若函數在處與直線相切；
①求實數的值；②求函數上的最大值;
（2）當時，若不等式對所有的都成立，求實數的取值范圍.

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（本題滿分10分）對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區服務的次數.根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數

頻率

10

0.25

24

 

 

2

0.05

合計

1

 

（Ⅰ）求出表中及圖中的值；

（Ⅱ）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間內的人數；

（Ⅲ）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間內的概率.

 

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（本題滿分10分）

已知向量，．

（I）若,求值；

（II）在中，角的對邊分別是，且滿足，

求函數的取值范圍．

 

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（本題滿分10分）設的內角A、B、C所對的邊長分別為，且，。

（1）當時，求的值.

（2）當的面積為3時，求的值.

 

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