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【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在與橢圓交于兩點的直線，使得成立？若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】試題分析：（1）由已知條件推導出，，由此能求出橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓方程聯立方程，得到關于的一元二次方程，由根的判別式和韋達定理結合已知條件能求出實數的取值范圍．

試題解析：（1）設橢圓的方程為，半焦距為．依題意，

由右焦點到右頂點的距離為，得解得．所以，所以橢圓的標準方程是．

（2）解：存在直線，使得成立．理由如下：

由得．

，化簡得．

設，則．

若，所以，，

，，

化簡得，，將代入中，，

解得．又由，，

從而，或，所以實數的取值范圍是．

練習冊系列答案
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【題目】在一個不透明的盒子中，放有標號分別為，，，的四個大小相同的小球，現從這個盒子中，有放回地先后取得兩個小球，其標號分別為，．

（1）求事件的概率；

（2）求事件的概率．

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【題目】如圖，直角三角形的頂點坐標，直角頂點，頂點在軸上，點為線段的中點，三角形外接圓的圓心為．

（1）求邊所在直線方程；

（2）求圓的方程；

（3）直線過點且傾斜角為，求該直線被圓截得的弦長．

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【題目】甲、乙、丙三人參加微信群搶紅包游戲，規則如下：每輪游戲發個紅包，每個紅包金額為元，．已知在每輪游戲中所產生的個紅包金額的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求的值，并根據頻率分布直方圖，估計紅包金額的眾數；

（2）以頻率分布直方圖中的頻率作為概率，若甲、乙、丙三人從中各搶到一個紅包，其中金額在的紅包個數為，求的分布列和期望．

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【題目】已知四棱錐，底面是，邊長為的菱形，又底面，且，點、分別是棱、的中點．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面．

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【題目】某班倡議假期每位學生至少閱讀一本名著，為了解學生的閱讀情況，對該班所有學生進行了調查．調查結果如下表：

閱讀名著的本數

1

2

3

4

5

男生人數

3

1

2

1

3

女生人數

1

3

3

1

2

（1）試根據上述數據，求這個班級女生閱讀名著的平均本數；

（2）若從閱讀本名著的學生中任選人交流讀書心得，求選到男生和女生各人的概率；

（3）試比較該班男生閱讀名著本數的方差與女生閱讀名著本數的方差的大小（只需寫出結論）．

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【題目】某家具廠有方木料 ，五合板 ，準備加工成書桌和書櫥出售．已知生產每張書桌需要方木料 ，五合板 ，生產每個書櫥需要方木料 ，五合板 ，出售一張書桌可獲利潤 元，出售一個書櫥可獲利潤 元．

（1）如果只安排生產書桌，可獲利潤多少?

（2）如果只安排生產書櫥，可獲利潤多少?

（3）怎祥安排生產可使所得利潤最大?

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【題目】已知函數．

（1）當時，求不等式的解集；

（2）對任意，若恒成立，求實數的取值范圍．

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【題目】對定義在區間上的函數和，如果對任意，都有成立，那么稱函數在區間上可被替代，稱為“替代區間”．給出以下問題：

①在區間上可被替代；

②可被替代的一個“替代區間”為；

③在區間可被替代，則；

④（），（），則存在實數（），使得在區間上被替代； 其中真命題有 ．

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