Question

已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（2-x）=f（x），且在區間[0，1]上是增函數．若函數g（x）=f（x）-log₂x有且僅有兩個零點，則f（x）的最大值為

log₂⁵

．

Answer 1

分析：確定函數在區間[-1，1]上是增函數，是以4為周期的周期函數，x=1、5是函數的對稱軸，且取得最大值，由此可得結論．

解答：解：∵f（x）在區間[0，1]上是增函數，f（x）在R上是奇函數
∴f（x）在區間[-1，1]上是增函數
∵奇函數f（x）滿足f（2-x）=f（x），∴f（2+x）=-f（x），∴f（4+x）=f（x）
∴函數是以4為周期的周期函數，
∵f（2-x）=f（x），∴x=1是函數的對稱軸，且取得最大值
∴x=5也是函數的對稱軸，且取得最大值
∵函數g（x）=f（x）-log₂x有且僅有兩個零點，
∴f（x）的最大值為log₂⁵
故答案為：log₂⁵

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查函數的周期性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．