Question

（1）求(1+2x－3x²)⁶的展開式中x⁵項的系數;

（2）求(x+2y+3z)⁷的展開式中含x⁴y²z的項的系數.

Answer 1

思路解析：（1）先將1+2x－3x²分解因式，把三項式化為兩個二項式的積，即(1+2x－3x²)⁶=(1+3x)⁶(1－x)⁶.然后分別寫出兩個二項式展開式的通項，研究乘積項x⁵的系數，問題就可得到解決.根據不同的結構特征靈活運用二項式定理是本題的關鍵.（2）要用分步乘法計數原理.

解：（1）原式=(1+3x)⁶(1－x)⁶，其中(1+3x)⁶展開式的通項為T_k+1=C3^kx^k，(1－x)⁶展開式的通項為T_r+1=C(－x)^r.

原式=(1+3x)⁶(1－x)⁶展開式的通項為CC(－1)r3^kx^k+r.

現要使k+r=5，又∵k∈{0，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，

故x⁵項系數為C3⁰C(－1)⁵+C3¹C(－1)⁴+C3²C(－1)³+C3³C(－1)²+C3⁴C(－1)+C3⁵C(－1)⁰=－168.

（2）因為(x+2y+3z)⁷可視為7個x+2y+3z相乘，展開式中含x⁴y²z的項應取4個x，2個2y，1個3z，所以，由分步乘法計數原理知x⁴y²z的系數為C·C2²·C3=1 260.

方法歸納  二項式定理是由兩個原理及排列與組合的知識導出的.對于能直接使用定理的情形可轉化成二項式定理的形式去求解，也可直接使用兩個原理及排列、組合的知識去求解.