Question

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）可將直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）改寫為（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0由于k∈R故即即F（3，0）然后再根據題中條件即可求出橢圓C的標準方程．
（2）要證明當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交只需證明圓心O到直線l：mx+ny=1的距離d=小于圓O：x²+y²=1的半徑1．而要求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍可利用圓中的弦長公式求出弦長的表達式再結合參數的取值范圍即可得解．
解答：解：（1）由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）可得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0
∴
∴F（3，0）
設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），則
∴．
∴橢圓C的方程為+=1
（2）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以1=+＜m²+n²
∴圓心O到直線l：mx+ny=1的距離d=＜1=r
∴直線l與圓O恒相交
又∵直線l被圓O截得的弦長為L=2=2=2
∵0≤m²≤25
∴16≤16+m²≤25
∴L∈[，]
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是L∈[，]
點評：本題主要考察了直線與圓錐曲線的綜合．解題的關鍵是第一問要會求直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）經過的定點和理解橢圓C上的點到焦點F的最大距離為a+c，而對于第二問理解圓心到直線的距離與半徑大小的關系與直線與圓位置關系的判定以及圓中半徑，圓心到直線的距離，弦長的一半滿足勾股定理！