Question

【題目】已知函數．

（）當時，求曲線在點處切線的方程．

（）求函數的單調區間．

（）當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）求導得，及，利用點斜式即可得切線方程；

（2）由，結合定義域，討論和即可；

（3）恒成立等價于在時恒成立，設，求導，根據函數的單調性得最值，只需即可.

試題解析：

（）由，

得：，，

當時，，，

∴，，

∴曲線在點處切線的方程為．

（）函數的定義域為，．

①若，

當時，，函數為增函數；

和時，

，函數為減函數；

②若，

當和時，，

函數為增函數；

當時，，函數為減函數，

綜上所述，當時，函數的單調增區間為，

單調減區間為和，

當時，函數的單調增區間為和，

單調減區間為．

（）當時，恒成立等價于在時恒成立，

設，則．

可知，當時，，為增函數；

時，，為減函數，

所以，

故．