Question

（文）已知:函數f(x)=  (a>1) 

   （1） 證明：函數f(x)在(-1,+∞ )上為增函數；

   （2）證明方程f(x)=0沒有負根．

 

Answer 1

【答案】

見解析。

【解析】(I)利用函數的單調性證明即可：第一步：取值，第二步作差比較，判斷差值的符號，第三步得到結論.

（2）本小題不易直接證明可采用反證法，先假設方程有負根x₀ (x₀≠-1)，則有= -1,然后研究-1的值總是負值，所以得到矛盾，問題得證.

(文)證明：(1) 設-1<x_­1<x₂<+∞

f(x₁)-f(x₂) =- +  -  

=-+          （4）

 ∵  -1<x₁<x₂ ,a>0

 ∴  -<0     <0

 ∴  f(x₁)-f(x₂)<0  即  f(x₁)<f(x₂) ,函數f(x)在(-1,+∞ )上為增函數．       （6）

 (2)  若方程有負根x₀ (x₀≠-1)，則有= -1

   若  x₀<-1 ,  -1<-1   而 >0    故  ≠ -1           （10）

   若 -1<x₀<0 ,   -1>2    而 <a⁰=1   ≠ -1

綜上所述，方程f(x)=0沒有負根．                           （12）