【題目】(2015·四川)如圖,橢圓E:的離心率是
,過點P(0,1)的動直線l與橢圓相交于A,B兩點,當直線l平行與x軸時,直線l被橢圓E截得的線段長為2
.
(1)求橢圓E的方程;
(2)在平面直角坐標系xOy中,是否存在與點P不同的定點Q,使得恒成立?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
(2)
存在,Q點的坐標為Q(0,2)
【解析】由已知,點(,1)在橢圓E上, 因此
, 解得a=2, b=
, 所以橢圓的方程為
。 (2)當直線l與x軸平行時,設直線x與橢圓相交于C, D兩點如果存在定點Q滿足條件,則
, 即
所以Q點在y軸上,可設Q點的坐標為(0,y0), 當直線l與x軸垂直時,設直線l與橢圓相交于M,N兩點, 則M(0,
), N(0,-
)。由
, 有
=
, 解得y0=1或y0=2, 所以,若存在不同于點P的定點Q滿足條件,則Q點的坐標只可能為Q(0,2), 下面證明:對任意的直線l均有
,當直線的斜率l不存在時,由上可知,結論成立.
當直線l的斜率存在時,可設直線l的方程為y=kx+1的坐標分別為(x1, y1),(x2, y2), 聯立, 得(2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判別式△=16k2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=-
, x1·x2=-
,因此
+
=
=2k, 易知,點B關于:一軸對稱的點的坐標為B'(-x2, y2)
又KQA==k-
, KQB=
=-k+
=k-
, 所以KQA= KQB , 即Q,A,B'三點共線, 所以
=
,故存在故存在與P不同的定點Q(0,2),使得
恒成立。
【考點精析】根據題目的已知條件,利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R)在x=2處的切線經過點(﹣4,2ln2)
(1)討論函數f(x)的單調性
(2)若不等式 恒成立,求實數m的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(2015·新課標I卷)已知函數f(x)=x3+ax+, g(x)=-lnx.
(1)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;
(2)用min{m,n} 表示m,n中的最小值,設函數h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),,討論h(x)零點的個數.
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【題目】(2015·四川)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.
(1)請按字母F , G , H標記在正方體相應地頂點處(不需要說明理由)
(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系.并說明你的結論.
(3)證明:直線DF⊥平面BEG
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【題目】(2015·四川)已知函數f(x)=2x , g(x)=x2+ax(其中aR).對于不相等的實數x1, x2 , 設m=
,n=
.
現有如下命題:
(1)對于任意不相等的實數x1, x2 , 都有m>0;
(2)對于任意的a及任意不相等的實數x1, x2 , ,都有n>0;
(3)對于任意的a , 存在不相等的實數x1, x2 , 使得m=n;
(4)對于任意的a , 存在不相等的實數x1, x2 , 使得m=-n.
其中的真命題有 (寫出所有真命題的序號).
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【題目】(2015·陜西)隨機抽取一個年份,對西安市該年4月份的天氣情況進行統計,結果如下:
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
天氣 | 晴 | 雨 | 陰 | 陰 | 陰 | 雨 | 陰 | 晴 | 晴 | 晴 | 陰 | 晴 | 晴 | 晴 | 晴 |
日期 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
天氣 | 晴 | 陰 | 雨 | 陰 | 陰 | 晴 | 陰 | 晴 | 晴 | 晴 | 陰 | 晴 | 晴 | 晴 | 雨 |
(1)在4月份任取一天,估計西安市在該天不下雨的概率;
(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續兩天的運動會,估計運動會期間不下雨的概率.
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【題目】(2015·陜西)在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為(t為參數).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,
c的極坐標方程為
=2
sin
.
(1)寫出c的直角坐標方程;
(2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.
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【題目】(2015·湖南)設數列{an}的前n項和為Sn , 已知a1=1, a2=2,且an+1=3Sn-Sn+1+3(n)
(1)證明:an+2=3an;
(2)求Sn
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【題目】對于函數,下列命題:①
時,
為奇函數;②
的圖象關于
中心對稱;③
,
時,方程
只有一個實根;④方程
至多有兩個實根,其中正確的個數有
A.1個B.2個C.3個D.4個
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