Question

已知x+5y+3z=1，則x²+y²+z²的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用題中條件：“x+5y+3z=1”構造柯西不等式：（x²+y²+z²）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）²這個條件進行計算即可．

解答：證明：∵35=1+25+9，
∴35（x²+y²+z²）=（x²+y²+z²）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）²=1
可得：x²+y²+z²≥

1

35

，
即x²+y²+z²的最小值為

1

35

，
故答案為：

1

35

．

點評：本題考查用綜合法證明不等式，關鍵是利用：（x²+y²+z²）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）²．