Question

【題目】已知函數f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）設a=2,b= .
①求方程f（x）=2的根；
②若對于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求實數m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函數g（x）=f（x）﹣2有且只有1個零點，求ab的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：① ，由 可得 ，

則 ，即 ，則 ， ；

② 由題意得 恒成立，

令 ，則由 可得 ，

此時 恒成立，即 恒成立

∵ 時 ，當且僅當 時等號成立，

因此實數 的最大值為4

（2）

解： ， ，

由 ， 可得 ，令 ，則 遞增，

而 ，因此 時 ，

因此 時， ， ，則 ；

時， ， ，則 ；

則 在 遞減， 遞增，因此 最小值為 ，

① 若 ， 時， ， ，則 ；

logb2時， ， ，則 ；

因此 且 時， ，因此 在 有零點，

且 時， ，因此 在 有零點，

則 至少有兩個零點，與條件矛盾；

② 若 ，由函數 有且只有1個零點， 最小值為 ，

可得 ，

由 ，

因此 ，

因此 ，即 ，即 ，

因此 ，則

【解析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函數的性質以及函數的最值，轉化求解即可．
（2）求出g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，求出函數的導數，構造函數h（x）= + ，求出g（x）的最小值為：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g（x）至少有兩個零點，與條件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函數g（x）=f（x）﹣2有且只有1個零點，推出g（x0）=0，然后求解ab=1