【題目】若兩曲線y=x2﹣1與y=alnx﹣1存在公切線，則正實數a的取值范圍是 ．
【答案】（0,2e）
【解析】解：兩曲線y=x2﹣1與y=alnx﹣1存在公切線，
y=x2﹣1的導數y′=2x，y=alnx﹣1的導數為y′= 
，
設y=x2﹣1相切的切點為（n，n2﹣1）與曲線y=alnx﹣1相切的切點為（m，alnm﹣1），
y﹣（n2﹣1）=2n（x﹣n），即y=2nx﹣n2﹣1，
y﹣（alnm﹣1）= 
（x﹣m），即：y= 
∴ 
∴ 
∵a＞0，
∴ 
即 
有解即可，
令g（x）=x2（1﹣lnx），
y′=2x（1﹣lnx）+ 
=x（1﹣2lnx）=0，可得x= 
，
∴g（x）在（0， ）是增函數；（ ，++∞）是減函數，g（x）的最大值為：g（ ）= 
，
又g（0）=0，
∴0 
，∴0＜a＜2e．
所以答案是：（0，2e）
陽光試卷單元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在8.0米（四舍五入，精確到0.1米）以上的進入決賽，把所得數據進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數是7．
（Ⅰ）求進入決賽的人數；
（Ⅱ）若從該校學生（人數很多）中隨機抽取兩名，記X表示兩人中進入決賽的人數，求X的分布列及數學期望；
（Ⅲ）經過多次測試后發現，甲成績均勻分布在8～10米之間，乙成績均勻分布在9.5～10.5米之間，現甲，乙各跳一次，求甲比乙遠的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=axln（x+1）+x+1（x＞﹣1，a∈R）．
（1）若 
，求函數f（x）的單調區間；
（2）當x≥0時，不等式f（x）≤ex恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f′（0）＜0，則函數 
圖象的一條對稱軸的方程為（ ）
A.x=0
B.x= 
C.x= 
D.x= 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】由于霧霾日趨嚴重，政府號召市民乘公交出行．但公交車的數量太多會造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客需求．為此，某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中進行隨機抽樣，共抽取10人進行調查反饋，所選乘客情況如下表所示：
組別 | 候車時間（單位：min） | 人數 |
一 | [0，5） | 1 |
二 | [5，10） | 5 |
三 | [10，15） | 3 |
四 | [15，20） | 1 |
（1）估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數；
（2）現從這10人中隨機取3人，求至少有一人來自第二組的概率；
（3）現從這10人中隨機抽取3人進行問卷調查，設這3個人共來自X個組，求X的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2xlnx﹣x2+2ax，其中a＞0．
（1）設g（x）是f（x）的導函數，求函數g（x）的極值；
（2）是否存在常數a，使得x∈[1，+∞）時，f（x）≤0恒成立，且f（x）=0有唯一解，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列{an}滿足an=3an﹣1+3n﹣1（n∈N* ， n≥2）， 已知a3=95．
（1）求a1 ， a2；
（2）是否存在一個實數t，使得 
，且{bn}為等差數列？若存在，則求出t的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）的定義在（0，3）上的函數，f（x）的圖象如圖所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（ ） 
A.（0，1）∪（2，3）
B.
C.
D.（0，1）∪（1，3）
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