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點A、B在橢圓=1上,O為原點,OA⊥OB.

(1)求證:為定值;

(2)求△AOB面積的最大值和最小值.

思路解析:此題看起來與極坐標方程沒有什么關系,但是當把橢圓方程化為極坐標方程后,就可以發現OA與OB長度的關系了;在△AOB中利用正弦定理的面積公式也容易找到其面積的最大值和最小值.

(1)證明:橢圓半長軸長為a,半短軸長為b,以O為極點,長軸一端與點O的射線為極軸,建立坐標系,將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入橢圓方程,得b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2.

∴ρ2=

即ρ2=.設OA的極角為α,則OB的極角為+α.

.

為定值.

(2)解:設A的極坐標為(ρ1,θ),則B(ρ2,θ+).點A、B滿足方程ρ12=22=.∵OA⊥OB,∴S△OAB=ρ1ρ2.

而ρ12ρ22=,

這里ρ1ρ2與ρ12ρ22同時取得最大值和最小值.

故當sin2θ=0時,ρ12ρ22有最大值1ρ2有最大值,

(S△OAB)max=·=

當sin2θ=±1時,ρ12ρ22有最小值1ρ2有最小值,

(S△OAB)min=·=.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

橢圓E的中心在坐標原點,焦點在x軸上,離心率為
1
2
.點P(1,
3
2
)、A、B在橢圓E上,且
PA
+
PB
=m
OP
(m∈R)
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)當m=-3時,求△PAB的重心坐標.
(Ⅲ)證明直線AB的斜率為定值,并求出這個定值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

橢圓E的中心在坐標原點O,焦點在x軸上,離心率為
1
2
.點P(1,
3
2
)、A、B在橢圓E上,且
PA
+
PB
=m
OP
(m∈R);
(Ⅰ)求橢圓E的方程及直線AB的斜率;
(Ⅱ)求證:當△PAB的面積取得最大值時,原點O是△PAB的重心.

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科目:高中數學 來源: 題型:

橢圓E的中心在坐標原點O,焦點在x軸上,離心率為
1
2
.點P(1,
3
2
)、A、B在橢圓E上,且
PA
+
PB
=m
OP
(m∈R).
(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率;
(2)當m=-3時,證明原點O是△PAB的重心,并求直線AB的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設F1,F2分別為橢圓
x2
3
+y2=1
的左、右焦點,點A,B在橢圓上,若
F1A
=3
F2B
,則點A的坐標是( 。

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