Question

設函數f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，a、b∈R，x=a是f（x）的一個極大值點；
（Ⅰ）若a=0，求b的取值范圍；
（Ⅱ） 當a是給定的實常數，設x₁x₂x₃是f（x）的3個極值點，問是否存在實數b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列x₁，x₂，x₃，x₄（其中{i₁，i₂，i₃}={1，2，3，4}）依次成等差數列？若存在，求所有的b及相應的x₄；若不存在，說明理由、

Answer 1

【答案】分析：（I）由函數f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，我們易求出a=0時，函數的解析式及其導函數的解析式，構造函數g（x）=x²+（b+3）x+2b，結合x=a是f（x）的一個極大值點，我們分析函數g（x）=x²+（b+3）x+2b的兩個零點與0的關系，即可確定b的取值范圍；
（Ⅱ）由函數f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，我們易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x₁、a、x₂是f（x）的三個極值點，且，，分別討論x₁、a、x₂是x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列構造等差數列時其中三項，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）解：a=0時，f（x）=x²（x+b）e^x，∴f'（x）=[x²（x+b）]^′e^x+x²（x+b）（e^x）^′=e^xx[x²+（b+3）x+2b]，
令g（x）=x²+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）²-8b=（b-1）²+8＞0，∴設x₁＜x₂是g（x）=0的兩個根，
（1）當x₁=0或x₂=0時，則x=0不是極值點，不合題意；
（2）當x₁≠0且x₂≠0時，由于x=0是f（x）的極大值點，故x₁＜0＜x₂．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．
（Ⅱ）解：f'（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，則△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是，假設x₁，x₂是g（x）=0的兩個實根，且x₁＜x₂．
由（Ⅰ）可知，必有x₁＜a＜x₂，且x₁、a、x₂是f（x）的三個極值點，
則，
假設存在b及x₄滿足題意，
（1）當x₁，a，x₂等差時，即x₂-a=a-x₁時，
則x₄=2x₂-a或x₄=2x₁-a，
于是2a=x₁+x₂=a-b-3，即b=-a-3．
此時x₄=2x₂-a=a-b-3+
或x₄=2x₁-a=a-b-3
（2）當x₂-a≠a-x₁時，則x₂-a=2（a-x₁）或（a-x₁）=2（x₂-a）
①若x₂-a=2（a-x₁），則，
于是，
即．
兩邊平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b-1=，
此時，
此時=．
②若（a-x₁）=2（x₂-a），則，
于是，
即．
兩邊平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b-1=，
此時
此時
綜上所述，存在b滿足題意，
當b=-a-3時，，
時，，
時，．
點評：本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用及等差數列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創新意識．