Question

【題目】已知函數f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．

（1）當a=1時，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]時恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 解集為（﹣∞，0]∪[，+∞）,(2) a的取值范圍是[﹣2，0]．

【解析】試題分析：（1）將參數值代入，零點分區間分段解不等式；（2）不等式恒成立求參，f（x）≤2x在x∈[，1]時恒成立時恒成立，可化為|ax+1|≤1，再變量分離；

（1）當a=1時，不等式f（x）≥2可化為|x+1|+|2x﹣1|≥2

①當x≥ 時，不等式為3x≥2，解得x≥，故x≥；

②當﹣1≤x＜時，不等式為2﹣x≤2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；

③當x＜﹣1時，不等式為﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；

綜上原不等式的解集為（﹣∞，0]∪[，+∞）；

（2）f（x）≤2x在x∈[，1]時恒成立時恒成立，

當x∈[，1]時，不等式可化為|ax+1|≤1，

解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因為x∈[，1]，所以﹣∈[﹣4，﹣2]，所以a的取值范圍是[﹣2，0]．