Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx+c,直線l₁:y=-t²+8t(其中0≤t≤2,t為常數);l₂:x=2,若直線l₁、l₂與函數f(x)的圖象以及l₁,y軸與函數f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.

(1)求a、b、c的值;

(2)求陰影面積S關于t的函數S(t)的解析式;

(3)若g(x)=6lnx+m,問是否存在實數m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

Answer 1

解:(1)由圖形知解之得

∴函數f(x)的解析式為f(x)=-x²+8x.

(2)由得x²-8x-t(t-8)=0,∴x₁=t,x₂=8-t.

∵0≤t≤2,

∴直線l₁與f(x)的圖象的交點坐標為(t,-t²+8t).

由定積分的幾何意義知:

S(t)=dx+dx

=［(-t²+8t)x-(+)］+［(+)-(-t²+8t)·x=t³+10t²-16t+.

(3)令φ(x)=g(x)-f(x)=x²-8x+6lnx+m.

∵x＞0,要使函數f(x)與函數g(x)有且僅有2個不同的交點,則函數φ(x)=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點,

∴φ′(x)=2x-8+==(x＞0).

當x∈(0,1)時,φ′(x)＞0,φ(x)是增函數;

當x∈(1,3)時,φ′(x)＜0,φ(x)是減函數;

當x∈(3,+∞)時,φ′(x)＞0,φ(x)是增函數;

當x=1或x=3時,φ′(x)=0,

∴φ(x)的極大值為φ(1)=m-7;

φ(x)的極小值為φ(3)=m+6ln3-15.

又∵當x→0時,φ(x)→-∞,

當x→+∞時,φ(x)→+∞,

∴要使φ(x)=0有且僅有兩個不同的正根,必須且只需

或

即或

∴m=7或m=15-6ln3.

∴當m=7或m=15-6ln3時,函數f(x)與g(x)的圖象有且只有兩個不同交點.