Question

已知f（x）=log_a（x+1），點P是函數y=f（x）圖象上的任意一點，點P關于原點的對稱點Q形成函數y=g（x）的圖象．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）當0＜a＜1時，解不等式2f（x）+g（x）≥0；
（3）當a＞1，且x∈[0，1）時，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可知函數g（x）的圖象上的任意一點Q（x，y）關于原點對稱的點P（-x，-y）在函數f（x）圖象上，把P（-x，-y）代入f（x），整理可得g（x）
（2）由2f（x）+g（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x）去掉對數符號后轉化為整式不等式，從而求得x的取值范圍；
（3）由（1）可令h（x）=2f（x）+g（x），，令，先判斷函數u（x）在（0，1]的單調性，進而求得函數的最小值h（x）_min，使得m≤h（x）_min
解答：解：（1）設Q（x，y），
∵P、Q兩點關于原點對稱，
∴P點的坐標為（-x，-y），又點p（-x，-y）在函數y=f（x）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1），即g（x）=-log_a（1-x）…（2分）
（2）由2f（x）+g（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x）
∵0＜a＜1∴…（6分）
（3）由題意知：a＞1且x∈[0，1）時恒成立．…（7分）
設，令t=1-x，t∈（0，1]，
∴
…（9分）
設0＜t₁＜t₂≤1∵
∴u（t）在t∈（0，1]上單調遞減，
∴u（t）的最小值為1…（12分）
又∵a＞1，∴的最小值為0…（13分）
∴m的取值范圍是m≤0…（14分）
點評：本題（1）小題主要考查了函數的中心對稱問題：若函數y=f（x）與y=g（x）關于點M（a，b）對稱，則y=f（x）上的任意一點（x，y）關于M（a，b）對稱的點（2a-x，2b-y）在函數y=g（x）的圖象上．（3）小題主要考查了函數的恒成立問題，往往轉化為求最值問題：m≥h（x）恒成立，則m≥h（x）_max，m≤h（x）恒成立，則m≤h（x）_min