Question

【題目】如下圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，點在棱上，且.

（1）證明：；

（2）是否存在實數，使得二面角的余弦值為？若存在，求出實數的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）因為平面平面，，所以 ，所以平面，故 ，根據勾股定理得： ，又因為 ，所以根據勾股定理逆定理得： ，故，平面，故：

（2）通過建立空間直角坐標系，通過向量法即可得出的值.

（1）證明：過點作交于，

∵，，，

∴四邊形為正方形，且，，

在中，，在中，，

∴，即.

又∵平面平面，平面平面，，平面， .

∴平面，又因為面 ∴.

又∵，面，面 ∴平面，又∵平面，∴.

（2）解：由（1）知平面，∴，，又∵，以點為坐標原點，，，所在的直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

∴，，，，，，.

假設存在實數，使得二面角的余弦值為，則，

因為點在棱上，∴.

設，由，得，

∴，則，

∵平面，∴平面的一個法向量為.

設平面的一個法向量為，

由，所以 ，令 ，則

故平面的一個法向量為.

∴，

解得，

∴存在實數，使得二面角的余弦值為.