Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．數列{b_n}的前n項和為T_n，滿足T_n=1-b_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）寫出一個正整數m，使得是數列{b_n}的項；
（3）設數列{c_n}的通項公式為，問：是否存在正整數t和k（k≥3），使得c₁，c₂，c_k成等差數列？若存在，請求出所有符合條件的有序整數對（t，k）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由已知，有，…（2分）
解得a₁=1，d=2，…（3分）
所以{a_n}的通項公式為a_n=2n-1（n∈N^*）．…（4分）
（2）當n=1時，b₁=T₁=1-b₁，所以．…（1分）
由T_n=1-b_n，得T_n+1=1-b_n+1，兩式相減，得b_n+1=b_n-b_n+1，
故，…（2分）
所以，{b_n}是首項為，公比為的等比數列，所以．…（3分）
，…（4分）
要使是{b_n}中的項，只要m+4=2ⁿ即可，可取m=4．…（6分）
（3）由（1）知，，…（1分）
要使c₁，c₂，c_k成等差數列，必須2c₂=c₁+c_k，即，…（2分）
化簡得．…（3分）
因為k與t都是正整數，所以t只能取2，3，5．…（4分）
當t=2時，k=7；當t=3時，k=5；當t=5時，k=4．…（5分）
綜上可知，存在符合條件的正整數t和k，所有符合條件的有序整數對（t，k）為：（2，7），（3，5），（5，4）．…（6分）
分析：（1）由已知條件可得數列的首項和公差，進而可得其通項；
（2）由已知可求得{b_n}的通項，只要m+4=2ⁿ即可，寫出一個滿足條件的即可；
（3）可得c_n，由c₁，c₂，c_k成等差數列，可得關于正整數t和k的式子，取整數驗證即可．
點評：本題考查等差數列，等比數列的綜合應用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．