Question

正態總體μ=0，σ=1時的概率密度函數是f（x）=，x∈R.

（1）證明：f（x）是偶函數；

（2）利用指數函數的性質說明f（x）的增減性；

（3）求f（x）的最大值.

Answer 1

（1）證明：設任意x∈R，

f（－x）===f（x），

∴f（x）是偶函數.

（2）解：令t=－，則f（x）=e^t.

∵f（x）關于t是增函數，t=－，當x∈（0，+∞）時，t關于x是減函數；

當x∈（－∞，0）時，t關于x是增函數.

由復合函數單調性，知當x∈（0，+∞）時，f（x）=是減函數，當x∈（－∞，0）時，f（x）=是增函數.

（3）解：x∈R，x²∈［0，+∞），∴－∈（－∞，0］.又∵y=e^t為增函數，∴≤e⁰=1.

∴f（x）_max=f（0）=.

點評：對于正態曲線的簡單性質要熟練掌握并且能夠應用，尤其是對稱性、最高點的位置、曲線向橫軸左右無限延伸時逐漸降低等.