Question

規定，其中x∈R，m是正整數，且=1，這是組合數（n，m是正整數，且m≤n）的一種推廣，
（1）求的值；
（2）設x＞0，當x為何值時，取得最小值？
（3）組合數的兩個性質：①；②，
是否都能推廣到（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2），
因為，
當且僅當時，等號成立，
∴當時，取得最小值。
（3）性質（1）不能推廣。 例如當時，有定義，但無意義；
性質（2）能推廣，它的推廣形式是，m是正整數，
事實上
當m=1時，有；
當m≥2時，


，
[證明]（3）當x≥m時，組合數，
當0≤x＜m時，，
當x＜0時，∵-x+m-1＞0，
∴
。