Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R），函數f（x）的圖象在x=4處的切線的斜率為

3

2

．
（1）求a值及函數f（x）的單調區間；
（2）若函數g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區間（1，3）上不是單調函數（其中f′（x）是f（x）的導函數），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數求導，然后由由已知f'（4）=

3

2

，可求a．再求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（2）由切線斜率為

3

2

，可求出a值，進而求出f（x）、f′（x），因為g（x）在區間（1，3）上不單調，所以g′（x）改變符號，從而得到m所滿足的條件．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
 f'（x）=

a(1-x)

x

   …（2分）
由 f'（4）=-

3a

4

=

3

2

 得a=-2   …（4分）
所以f'（x）=

2x-2

x

（x＞0）
由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1
所以f（x）的單增區間為（1，+∞），單減區間為（0，1]…（6分）
當a=-2時，若x∈（1，+∞），則f′（x）＞0；若x∈（0，1），則f′（x）＜0，
∴當a=-2時，f（x）的單調遞增區間為[1，+∞），單調遞減區間為（0，1]；
（2）g（x）=

1

3

x3+(

m

2

+2)x2-2x                    …（7分）
g'（x）=x²+（m+4）x-2                  …（8分）
因為g（x）在（1，3）不單調，且g'（0）=-2   …（9分）
所以 

g′(1)＜0 g′(3)＞0

         …（11分）
即 

m＜-3 m＞- 19 3

         …（12分）
所以m∈（-

19

3

，-3）．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程、導數與函數單調性的關系，利用導數解決問題的能力，注意數形結合思想的應用．