Question

（本小題14分）
已知函數的圖像在[a,b]上連續不斷，定義：
，，其中表示函數在D上的最小值，表示函數在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得對任意的成立，則稱函數為上的“k階收縮函數”
（1）若，試寫出，的表達式；
（2）已知函數試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數”，
如果是，求出對應的k，如果不是，請說明理由；
已知，函數是[0,b]上的2階收縮函數，求b的取值范圍

Answer 1

解：（1）由題意可得：，。
（2），，
當時，
當時，
當時，
綜上所述，。
即存在，使得是[-1,4]上的“4階收縮函數”。
（3），令得或。
函數的變化情況如下：

x		0		2
	-	0	+	0	-
		0		4

令得或。
（i）當時，在上單調遞增，因此，，。因為是上的“二階收縮函數”，所以，
①對恒成立；
②存在，使得成立。
①即：對恒成立，由解得或。
要使對恒成立，需且只需。
②即：存在，使得成立。
由解得或。
所以，只需。
綜合①②可得。
（i i）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
因此，，，，
顯然當時，不成立。
（i i i）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，因此，，，，
顯然當時，不成立。
綜合（i）（i i）（i i i）可得：

略