Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x₁，x₂，若過兩點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行求導，通過a的取值，求出函數的根，然后通過導函數的值的符號，推出函數的單調性．
（2）根據導函數的根，判斷a的范圍，進而解出直線l的方程，利用l與x軸的交點為（x₀，0），可解出a的值．

解答：解：（1）f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1．
①當a≥1時，f′（x）≥0，
且僅當a=1，x=-1時，f′（x）=0，
所以f（x）是R上的增函數；
②當a＜1時，f′（x）=0，有兩個根，
x₁=-1-

1-a

，x₂=-1+

1-a

，
當x∈(-∞，-1-

1-a

)時，f′（x）＞0，f（x）是增函數．
當x∈(-1-

1-a

，-1+

1-a

)時，f′（x）＜0，f（x）是減函數．
當x∈(-1+

1-a

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）是增函數．
（2）由題意x₁，x₂，是方程f′（x）=0的兩個根，
故有a＜1，x12=-2x1-a，x22=-2x2-a，
因此f(x1)=

1

3

x13+x12+ax1=

1

3

x1(-2x1-a) +x12+ax1
=

1

3

x12+

2

3

ax1
=

1

3

(-2x1-a)  +

2

3

ax1=

2

3

(a-1) x1-

1

3

a，
同理f(x2)=

2

3

(a-1)x2-

1

3

a．
因此直線l的方程為：y=

2

3

(a-1)x -

1

3

a．
設l與x軸的交點為（x₀，0）得x₀=

a

2(a-1)

，
f(x0)=

1

3

[

a

2(a-1)

]3+[

a

2(a-1)

]2+a

a

2(a-1)

=

a2

24(a-1)3

(12a2-17a+6)，
由題設知，點（x₀，0）在曲線y=f（x）上，故f（x₀）=0，
解得a=0，或a=

2

3

或a=

3

4

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件，考查分類討論，函數與方程的思想，考查計算能力．