Question

【題目】對于定義域為的函數，若滿足① ；② 當，且時，都有；③ 當，且時，都有，則稱為“偏對稱函數”．現給出四個函數：①；② ； ③；④.則其中是“偏對稱函數”的函數序號為 _______．

Answer 1

【答案】①④.

【解析】分析：條件②等價于f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，條件③等價于f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判斷各函數是否滿足條件即可得出結論．

詳解：由②可知當x＞0時，f′（x）＞0，當x＜0時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，

f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上單調遞減，不滿足條件②，

∴f2（x）不是“偏對稱函數”；

又（）=（）=0，∴（x）在（0，+∞）上不單調，故（x）不滿足條件②，

∴（x）不是“偏對稱函數”；

又f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上單調遞減，不滿足條件②，

∴f2（x）不是“偏對稱函數”；

由③可知當x1＜0時，f（x1）＜f（﹣x2），即f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，

對于（x），當x＜0時，（x）﹣（﹣x）=﹣x﹣e﹣x+1，

令h（x）=﹣x﹣e﹣x+1，則h′（x）=﹣1+e﹣x＞0，

∴h（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，故h（x）＜h（0）=0，滿足條件③，

由基本初等函數的性質可知（x）滿足條件①，②，

∴（x）為“偏對稱函數”；

對于f4（x），f4′（x）=2e2x﹣ex﹣1=2（ex﹣）2﹣，

∴當x＜0時，0＜ex＜1，∴f4′（x）＜2（1﹣）2﹣=0，

當x＞0時，ex＞1，∴f4′（x）＞2（1﹣）2﹣=0，

∴f4（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，滿足條件②，

當x＜0，令m（x）=f4（x）﹣f4（﹣x）=e2x﹣e﹣2x+e﹣x﹣ex﹣2x，

則m′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣e﹣x﹣ex﹣2=2（e2x+e﹣2x）﹣（e﹣x+ex）﹣2，

令e﹣x+ex=t，則t≥2，于是m′（x）=2t2﹣t﹣6=2（t﹣）2﹣≥2（2﹣）2﹣=0，

∴m（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，

∴m（x）＜m（0）=0，故f4（x）滿足條件③，

又f4（0）=0，即f4（x）滿足條件①，

∴f4（x）為“偏對稱函數”．

故答案為：①④．