Question

（本小題滿分12分）已知對任意的實數m,直線都不與曲線相切．

（I）求實數的取值范圍；

（II）當時，函數y=f(x)的圖象上是否存在一點P,使得點P到x軸的距離不小于.試證明你的結論．

Answer 1

解：（I），                        …………2分

∵對任意，直線都不與相切，

∴，，實數的取值范圍是；     …………4分

（II）存在，證明方法1：問題等價于當時，，

設，則在上是偶函數，故只要證明當時，，①當上單調遞增，且，

；                           …………6分

②當，列表：

	+	0	-	0	+
		極大		極小

在上遞減，在上遞增，                  …………8分

注意到，且，

∴時，，時，，

∴，…………10分

由及，解得，此時成立．

∴．

由及，解得，此時成立．

∴．

∴在上至少存在一個，使得成立．    …………12分

（II）存在，證明方法2：反證法

假設在上不存在，使得成立，即，，

設，則在上是偶函數，

∴時，，                          …………4分

①當上單調遞增，且，

，與矛盾；         …………6分

②當，列表：

	+	0	-	0	+
		極大		極小

在上遞減，在上遞增，                  …………8分

注意到，且，

∴時，，時，，

∴，……………10分

注意到，由：

，矛盾；，矛盾；

∴，與矛盾，

∴假設不成立，原命題成立．                …………12分