Question

【題目】已知函數.

（1）試討論函數的極值點情況；

（2）當為何值時，不等式（且）恒成立？

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）由題得，求得，設，由，分、、三種情況討論，即可的奧函數極值點的情況.

（2）不等式可化為，再由（1）函數的性質，即可得到實數的取值范圍.

試題解析：

（1）由題得， 的定義域為，

.

設， .

①當時，對稱軸，

故在區間上單調遞增，

則，

所以在區間上恒成立，

所以在區間上單調遞增， 無極值；

②當時， ， 恒成立，

故在區間上恒成立，

所以在區間上單調遞增， 無極值；

③當時，令，得， ，

令，得或，

令，得，

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故的極大值點為，極小值點為.

綜上所述，當時， 無極值點；

當時， 的極大值點為，極小值點為.

（2）不等式（且）可化為（*）.

由（1）知：

①當時， 在區間上為增函數，

當時， ，

所以；

當時， ，

所以.

所以當時，（*）式成立.

②當時， 在區間上為減函數， ，

所以，（*）不成立.

綜上所述，實數的取值范圍是.