Question

已知圓：，點，直線.
 
(1)求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；
（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上的任一點，都有為一常數，試求出所有滿足條件的點的坐標.

Answer 1

（1）（2）見解析

試題分析：（1）根據所求直線與已知直線垂直,可設出直線方程,再根據直線與圓相切,所以有(其中表示圓心到直線的距離),可得到直線方程;
（2）方法一:假設存在這樣的點,由于的位置不定,所以首先考慮特殊位置,①為圓與軸左交點或②為圓與軸右交點這兩種情況,由于對于圓上的任一點，都有為一常數,所以①②兩種情況下的相等, 可得到,然后證明在一般的下, 為一常數.
方法二:設出,根據對于圓上的任一點，都有為一常數,設出以及該常數,通過,代入的坐標化簡,轉化為恒成立問題求解.
試題解析：（1）已知直線變形為為，因為所求直線與已知直線垂直，
所以設所求直線方程為，即.
由直線與圓相切，可知，其中表示圓心到直線的距離，
則，得，故所求直線方程為. 
（2）假設存在這樣的點，
當為圓與軸左交點時，，
當為圓與軸右交點時，
依題意，，解得（舍去），或.
下面證明：點對于圓上任一點，都有為一常數.
設，則.
，
從而為常數.
方法2：假設存在這樣的點，使得為常數，則，
設于是，由于在圓上,所以,代入得，
，
即對恒成立，
所以 ，解得或（舍去），
故存在點對于圓上任一點，都有為一常數.