Question

（2009湖南卷文）（本小題滿分13分）

對于數列,若存在常數M＞0,對任意的，恒有

,            

則稱數列為數列.

（Ⅰ）首項為1，公比為的等比數列是否為B-數列？請說明理由;

（Ⅱ）設是數列的前n項和.給出下列兩組判斷：

A組：①數列是B-數列,      ②數列不是B-數列;

B組：③數列是B-數列,      ④數列不是B-數列.

請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題.

判斷所給命題的真假，并證明你的結論；

(Ⅲ)若數列是B-數列，證明：數列也是B-數列。

Answer 1

解析: （Ⅰ）設滿足題設的等比數列為,則.于是

    

            

==

所以首項為1，公比為的等比數列是B-數列    .

（Ⅱ）命題1：若數列是B-數列，則數列是B-數列.此命題為假命題.

事實上設=1，，易知數列是B-數列，但=n，

       .

由n的任意性知，數列不是B-數列。

命題2：若數列是B-數列，則數列不是B-數列。此命題為真命題。

事實上，因為數列是B-數列，所以存在正數M，對任意的，有

       ,

       即.于是

,

所以數列是B-數列。

（注：按題中要求組成其它命題解答時，仿上述解法）           

 (Ⅲ)若數列是B-數列，則存在正數M，對任意的有

     .

因為

            .

記，則有

                      .

因此.

故數列是B-數列.