Question

在雙曲線=1上求一點，使它到直線l：x-y-3=0的距離最短，并求最短距離.

Answer 1

解：與直線l：y=x-3平行的雙曲線的切線方程可設為y=x+m.將y=x+m代入雙曲線的方程，整理得16x²+50mx+25m²+225=0，根據直線與雙曲線相切的充要條件，有Δ=2 500m²-64×(25m²+225)=0，解得m=±4,根據題意，m可取-4.將y=x-4代入雙曲線方程，整理，得16x²-200x+625=0，解得重根x=.因而y=x-4=,故得切點（，）.由于直線y=x-3與切線y=x-4的距離為，所以雙曲線上的點到直線l的最短距離是.