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過點作曲線的切線，切點為，過作軸的垂線交 軸于點，又過作曲線C的，切點為，過作軸的垂線交軸于點，…，依次下去得到一系列點，…，設點的橫坐標為．

（1）求數列的通項公式；

（2）求和；

（3）求證：．

解：（1）∵，∴．

若切點是，

則切線方程為．      …………………1分

當時，切線過點，

即：，

依題意．所以．       …………………2分

當時，切線過點，

即：，

依題意，所以．  ………………3分

所以數列是首項為，

公比為的等比數列．所以．  …………4分

（2）記，

因為，

所以．    …………………5分

兩式相減，

得：

　　    

．   …………………7分

∴

．          …………………9分

（3）證法1：

 ．      

…………………14分

證法2：當時，

．…………………10分

假設時，結論成立，

即，

則．

即時．

．                        …………………13分

綜上，　

對都成立．              …………………14分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=x3+ax2+bx的圖象與x軸相切于點（-3，0），且函數存在極值．
（I）求函數f（x）的解析式及單調區間；
（II）過函數y=f（x）圖象上一點P1（x1，y1）（P1不是y=f（x）圖象的對稱中心）作曲線的切線，切于不同于P1（x1，y1）的另一點P2（x2，y2），再過P2（x2，y2）作曲線的切線切于不同于P2（x2，y2）的另一點P3（x3，y3），…，過Pn（xn，yn）作曲線的切線切于不同于Pn（xn，yn）的另一點Pn+1（xn+1，yn+1），求xn與xn+1的關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知動圓P與兩圓（x+2）2+y2=2，（x-2）2+y2=2中的一個內切，另一個外切．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）過（2，0）作直線l交曲線E于A、B兩點，使得|AB|=2
2
，求直線l的方程；
（3）若從動點P向圓C：x2+（y-4）2=1作兩條切線，切點為A、B，設|PC|=t，試用t表示
PA
•
PB
，并求
PA
•
PB
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設曲線上有點，與曲線切于點的切線為，若直線過且與垂直，則稱為曲線在點處的法線，設交軸于點，又作軸于，求的長。

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，已知線段|AB|=4，動圓O’與線段AB切于點C，且|AC|―|BC|=，過點A、B分別作⊙O’的切線，兩切線相交于點P；且P、O’在AB的同側．

(1)建立適當的坐標系，當O’位置變化時，求動點P的軌跡E的方程；

(2)過點B作直線交曲線E于M、N，求△AMN面積的最小值．

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科目：高中數學 來源：2011年哈爾濱三中、東北育才、大連育明、天津耀華四校高考數學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

函數f（x）=x3+ax2+bx的圖象與x軸相切于點（-3，0），且函數存在極值．
（I）求函數f（x）的解析式及單調區間；
（II）過函數y=f（x）圖象上一點P1（x1，y1）（P1不是y=f（x）圖象的對稱中心）作曲線的切線，切于不同于P1（x1，y1）的另一點P2（x2，y2），再過P2（x2，y2）作曲線的切線切于不同于P2（x2，y2）的另一點P3（x3，y3），…，過Pn（xn，yn）作曲線的切線切于不同于Pn（xn，yn）的另一點Pn+1（xn+1，yn+1），求xn與xn+1的關系．

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