Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為

1

2

，左焦點F₁到直線l：x-

3

y-3=0的距離等于長半軸長．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，線段MN的中垂線與x軸相交于點P（m，O），求實數m的取值范圍．

Answer 1

（I）由已知

c

a

=

1

2

，可得F₁（-

1

2

a，0），
由F₁到直線l的距離為a，所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，
解得a=2，所以c=1，b²=a²-c²=3，得b=

3

，
所以所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由（I）知F₂（1，0），設直線l的方程為：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因為l過點F₂，所以△＞0恒成立，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-6k

3+4k2

，
所以MN中點（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

），
當k=0時，MN為長軸，中點為原點，則m=0，
當k≠0時MN中垂線方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0，得m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
因為

3

k2

＞0，所以

1

k2

+4＞4，可得0＜m＜

1

4

，
綜上可知實數m的取值范圍是[0，

1

4

）．