Question

（07年遼寧卷）（14分）

已知正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標原點，設圓是的內接圓（點為圓心）

（I）求圓的方程；

（II）設圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值．

Answer 1

本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質等基本知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．

解析：（I）解法一：設兩點坐標分別為，，由題設知

．

解得，

所以，或，．

設圓心的坐標為，則，所以圓的方程為

．

解法二：設兩點坐標分別為，，由題設知

．

又因為，，可得．即

．

由，，可知，故兩點關于軸對稱，所以圓心在軸上．

設點的坐標為，則點坐標為，于是有，解得，所以圓的方程為．

（II）設，則

．

在中，，由圓的幾何性質得

，，

所以，由此可得

．

則的最大值為，最小值為．