Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+(a-6)x+(4-2a)lnx，g（x）=-x²+2x+b
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，對?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在（0，m），（n，+∞）上單調遞增，在（m，n）上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入f（x）后，對f（x）進行求導，然后利用導數求出f（x）的單調區間；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，已經知道f（x）的值域，題中對?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），對這問題進行轉化為：g（x）_max＜f（x）_min即可，利用配方法求出g（x）的最小值；
（Ⅲ）題中f（x）在（0，m），（n，+∞）上單調遞增，在（m，n）上單調遞減，可以推出m，n為f（x）的兩個極值點，再利用方程的系數與根的關系求出a的范圍；

解答：解：（Ⅰ）f（x）定義域為（0，+∞）
當a=2時，f(x)=

1

3

x3-4x，f'（x）=x²-4，
令f'（x）=0
得x=2或x=-2（舍）

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

∴f（x）的遞減區間為（0，2），遞增區間為（2，+∞）
（Ⅱ）∵?x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）＞g（x₂）成立
∴g（x）_max＜f（x）_min
由（Ⅰ）知f(x)min=f(2)=-

16

3

g（x）=-（x-1）²+1+b
g（x）_max=g（1）=1+b
∴1+b＜-

16

3

∴b＜-

19

3

（Ⅲ）f′(x)=x2+(a-6)+

4-2a

x

=

x3+(a-6)x+4-2a

x

由條件知m，n恰為f'（x）=0的兩個不相等正根，
即x³+（a-6）x+4-2a=0恰有兩個不相等正根，
對于方程a（x-2）+x³-6x+4=0顯然x=2是方程的一個解，
當x≠2時，a=-x²-2x+2=-（x+1）²+3（x＞0且x≠2）
當x＞0時，-x²-2x+2＜2
當x=2時，-x²-2x+2=-6
∴a＜2且a≠-6

點評：考查學生會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件，此題還涉及到了轉化的思想，把復雜的問題轉化為我們所熟悉的知識；