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已知函數f(x)=
13
x3+(a-6)x+(4-2a)lnx
,g(x)=-x2+2x+b
(Ⅰ)若a=2,求f(x)的單調區間;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,對?x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)>g(x2),求實數b的取值范圍;
(Ⅲ)若f(x)在(0,m),(n,+∞)上單調遞增,在(m,n)上單調遞減,求實數a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)把a=2代入f(x)后,對f(x)進行求導,然后利用導數求出f(x)的單調區間;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,已經知道f(x)的值域,題中對?x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)>g(x2),對這問題進行轉化為:g(x)max<f(x)min即可,利用配方法求出g(x)的最小值;
(Ⅲ)題中f(x)在(0,m),(n,+∞)上單調遞增,在(m,n)上單調遞減,可以推出m,n為f(x)的兩個極值點,再利用方程的系數與根的關系求出a的范圍;
解答:解:(Ⅰ)f(x)定義域為(0,+∞)
當a=2時,f(x)=
1
3
x3-4x
,f'(x)=x2-4,
令f'(x)=0
得x=2或x=-2(舍)
x (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x)
∴f(x)的遞減區間為(0,2),遞增區間為(2,+∞)
(Ⅱ)∵?x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1)>g(x2)成立
∴g(x)max<f(x)min
由(Ⅰ)知f(x)min=f(2)=-
16
3

g(x)=-(x-1)2+1+b
g(x)max=g(1)=1+b
1+b<-
16
3

b<-
19
3

(Ⅲ)f′(x)=x2+(a-6)+
4-2a
x
=
x3+(a-6)x+4-2a
x

由條件知m,n恰為f'(x)=0的兩個不相等正根,
即x3+(a-6)x+4-2a=0恰有兩個不相等正根,
對于方程a(x-2)+x3-6x+4=0顯然x=2是方程的一個解,
當x≠2時,a=-x2-2x+2=-(x+1)2+3(x>0且x≠2)
當x>0時,-x2-2x+2<2
當x=2時,-x2-2x+2=-6
∴a<2且a≠-6
點評:考查學生會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值.掌握不等式恒成立時所取的條件,此題還涉及到了轉化的思想,把復雜的問題轉化為我們所熟悉的知識;
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(1)、已知函數f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數a的取值范圍是( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數在區間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義在D上的函數f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數,其中M稱為函數f(x)的上界.已知函數f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數,請說明理由;
(2)若函數f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數,求m的取值范圍.

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