Question

【題目】在用二分法求方程在區間內的近似解時，先將方程變形為，構建，然后通過計算以判斷及的正負號，再按步驟取區間中點值，計算中點的函數近似值，如此往復縮小零點所在區間，計算得部分數據列表如下：

步驟	區間左端點	區間右端點	、中點的值	中點的函數近似值
1	2	3	2.5	-0.102
2				0.189
3			2.625	0.044
4	2.5	2.625	2.5625	-0.029
5	2.5625	2.625	2.59375	0.008
6	2.5625	2.59375	2.578125	-0.011
7	2.578125	2.59375	2.5859375	-0.001
8	2.5859375	2.59375	2.58984375	0.003
9	2.5859375	2.58984375	2.587890625	0.001

（1）判斷及的正負號；

（2）請完成上述表格，在空白處填上正確的數字；

（3）若給定的精確度為0.1，則到第幾步驟即可求出近似值？此時近似值為多少？

（4）若給定的精確度為0.01，則需要到第幾步驟才可求出近似值？近似值為多少？

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析；（3）第5步驟；2.625；（4）第8步驟；

【解析】

(1)利用的解析式求出，判斷與0的大小關系即可；

(2)由于，故零點在之間，故步驟2的左端點和右端點分別為2.5,3，中點的值為，同理可得到步驟3的值；

(3)使得左端點和右端點差的絕對值小于0.1即可，由表可知，到步驟5滿足條件.

(4) 使得左端點和右端點差的絕對值小于0.01即可，由表可知，到步驟8滿足條件.

解：（1），

（2）如下表；

步驟	區間左端點	區間右端點	、中點的值	中點的函數近似值
1	2	3	2.5	-0.102
2	2.5	3	2.75	0.189
3	2.5	2.75	2.625	0.044
4	2.5	2.625	2.5625	-0.029
5	2.5625	2.625	2.59375	0.008
6	2.5625	2.59375	2.578125	-0.011
7	2.578125	2.59375	2.5859375	-0.001
8	2.5859375	2.59375	2.58984375	0.003
9	2.5859375	2.58984375	2.587890625	0.001

（3）直到第5步驟時，考慮到，此時可求出零點的近似值為．（可取區間內任意值）

（4）直到第8步驟時，考慮到，此時可求出零點的近似值為．（可取內任意值）