Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間;

（Ⅱ）當時，證明：對任意的.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導函數，對參數a進行分類討論，得出導函數的正負，判斷原函數的單調性；（Ⅱ）整理不等式得ex-lnx-2＞0，構造函數h（x）=ex-lnx-2，則可知函數h'（x）在（0，+∞）單調遞增， 所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一實根x0，即得出函數的最小值為h(x)min＝h(x0)＝ex0lnx02＝即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，即原不等式成立.

試題解析：

解：（Ⅰ）由題意知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），

由已知得．

當a≤0時，f'（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）．

當a＞0時，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，

所以函數f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

綜上，當a≤0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；

當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（Ⅱ）證明：當a=1時，不等式f（x）+ex＞x2+x+2可變為ex﹣lnx﹣2＞0，令h（x）=ex﹣lnx﹣2，則，可知函數h'（x）在（0，+∞）單調遞增，

而，

所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一實根x0，即．

當x∈（0，x0）時，h'（x）＜0，函數h（x）單調遞減；

當x∈（x0，+∞）時，h'（x）＞0，函數h（x）單調遞增； 所以．

即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，

所以對任意x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2成立．