Question

【題目】已知二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=4x，且f（0）=1．
（1）求二次函數f（x）的解析式．
（2）求函數g（x）=（ ）f（x）的單調增區間和值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．

∵f（0）=1，∴c=1．把f（x）的表達式代入f（x+1）﹣f（x）=4x，有

a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=4x．

∴2ax+a+b=4x．∴a=2，b=﹣2．

∴f（x）=2x2﹣2x+1

（2）解：g（x）=（ ）f（x）= ，

令t=2x2﹣2x+1，則t=2x2﹣2x+1=2（x﹣ ）2+

此時y=（ ）t為減函數，

當x≥ 時，函數t=2x2﹣2x+1為增函數，此時g（x）為減函數，即函數單調遞減區間為（﹣∞， ]，

當x≤ 時，函數t=2x2﹣2x+1為減函數，此時g（x）為增函數，即函數單調遞增區間為[ ，+∞），

∵t=2x2﹣2x+1=2（x﹣ ）2+ ≥ ，

∴0＜（ ）t≤=（ ） = ，

即函數的值域為（0， ]

【解析】（1）利用待定系數法即可求二次函數f（x）的解析式．（2）利用換元法結合復合函數單調性的關系結合一元二次函數和指數函數的性質進行求解即可．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．