Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=

1

2

．
（1）求證：{

1

Sn

}是等差數列；
（2）求a_n表達式；
（3）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求證：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件化簡可得出S_n與S_n-1的關系，再求出S1 的值即可證明{

1

Sn

}是等差數列；
（2）根據（1）中求得的S_n與S_n-1的關系先求出數列{

1

Sn

}的通項公式，然后分別討論n=1和n≥2時a_n的表達式；
（3）根據（2）中求得的a_n的表達式即可求出bn的表達式，然后將bn的表達式代入b₂²+b₃²+…+b_n²中，利用縮放法即可證明b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

解答：解（1）∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）
S_n≠0，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，又

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2為首項，公差為2的等差數列．

（2）由（1）

1

Sn

=2+（n-1）2=2n，
∴S_n=

1

2n

當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2n(n-1)

n=1時，a₁=S₁=

1

2

，
∴a_n=

1 2 (n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2)

；

（3）由（2）知b_n=2（1-n）a_n=

1

n

∴b₂²+b₃²+…+b_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

＜1．

點評：本題主要考查了數列的遞推公式以及等差數列的基本性質，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．