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已知橢圓的離心率為，橢圓的的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4，
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線與橢圓C交于A, B兩點，若點M（， 0），求證為定值.

（1）；（2）參考解析

解析試題分析：（1）要求橢圓的方程需要找到關于的兩個等式即可.由離心率可以得到一個，又由橢圓的的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4，可以得到一個等式，即可求出橢圓的方程.
（2）由線與橢圓C交于A, B兩點，若點M（， 0），所以要表示出的結果，通過直線方程與橢圓方程聯立即可得一個二次方程.寫出韋達定理，再根據向量與向量的數量積所得到的關系式即可得到一個定值.
試題解析：（1）因為滿足,,
.解得,則橢圓方程為.         4分
（2）把直線代入橢圓的方程得
設解得，

=
=
==
所以為定值.         12分
考點：1.橢圓的性質.2.直線與橢圓的位置關系.3.向量的數量積.4.運算能力的鍛煉.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左，右頂點，點在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）點為橢圓上除長軸端點外的任一點，直線，與橢圓的右準線分別交于點，．
①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在，求點的坐標；若不存在,說明理由；
②已知常數，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，左、右兩個焦點分別為、，上頂點，為正三角形且周長為6，直線與橢圓相交于兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與橢圓的交點為，求弦長.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點M(0，2)作直線與直線垂直，試判斷直線與橢圓的位置關系5
(3)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設點、分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為.
（I）求橢圓的方程;
（II）設直線（直線、不重合）,若、均與橢圓相切，試探究在軸上是否存在定點,使點到、的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且△的面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，直線與直線的交點為，證明：點總在直線上.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于、兩點,若(為坐標原點),試判斷直線與圓的位置關系，并證明你的結論.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓C：，若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(I)求橢圓C的方程；
(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足且=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

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