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(2013•眉山二模)函數f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數,且函數y=f(x)和y=g(x)的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行.
(Ⅰ)求此平行線的距離;
(Ⅱ)若存在x使不等式
x-m
f(x)
x
成立,求實數m的取值范圍;
(Ⅲ)對于函數y=f(x)和y=g(x)公共定義域中的任意實數x0,我們把|f(x0)-g(x0)|的值稱為兩函數在x0處的偏差.求證:函數y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
分析:(Ⅰ)求導函數,利用函數y=f(x)和y=g(x)的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行,確定a的值,從而可得切線方程,即可求得兩平行切線間的距離;
(Ⅱ)問題等價于m<x-
x
ex
在x∈[0,+∞)有解,令h(x)=x-
x
ex
,則m<hmax(x),由此即可求得實數m的取值范圍;
(Ⅲ)證法一:函數y=f(x)和y=g(x)的偏差為:F(x)=|f(x)-g(x)|=ex-lnx,x∈(0,+∞),求出其最小值,即可得到結論;
證法二:由于函數y=f(x)和y=g(x)的偏差:F(x)=|f(x)-g(x)|=ex-lnx,x∈(0,+∞),構造函數F1(x)=ex-x,x∈(0,+∞),F2(x)=x-lnx,x∈(0,+∞),確定其單調性,確定其范圍,即可求得結論.
解答:(Ⅰ)解:f'(x)=aexg′(x)=
1
x
,
y=f(x)的圖象與坐標軸的交點為(0,a),y=g(x)的圖象與坐標軸的交點為(a,0),
∵函數y=f(x)和y=g(x)的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行
∴f'(0)=g'(a),即a=
1
a

又∵a>0,∴a=1.
∴f(x)=ex,g(x)=lnx,
∴函數y=f(x)和y=g(x)的圖象在其坐標軸的交點處的切線方程分別為:x-y+1=0,x-y-1=0
∴兩平行切線間的距離為
2

(Ⅱ)解:由
x-m
f(x)
x
x-m
ex
x
,故m<x-
x
ex
在x∈[0,+∞)有解,
h(x)=x-
x
ex
,則m<hmax(x).
當x=0時,m<0;
當x>0時,∵h′(x)=1-(
1
2
x
ex+
x
ex)=1-(
1
2
x
+
x
)ex

∵x>0,∴
1
2
x
+
x
≥2
1
2
x
x
=
2
 , ex>1
,∴(
1
2
x
+
x
)ex
2

h′(x)=1-(
1
2
x
+
x
)ex<0

h(x)=x-
x
ex
在區間[0,+∞)上單調遞減,故h(x)max=h(0)=0,∴m<0
即實數m的取值范圍為(-∞,0).
(Ⅲ)證法一:∵函數y=f(x)和y=g(x)的偏差為:F(x)=|f(x)-g(x)|=ex-lnx,x∈(0,+∞)
F′(x)=ex-
1
x

設x=t為F′(x)=ex-
1
x
=0
的解,則當x∈(0,t),F'(x)<0;
當x∈(t,+∞),F'(x)>0,∴F(x)在(0,t)單調遞減,在(t,+∞)單調遞增
F(x)min=et-lnt=et-ln
1
et
=et+t

∵f'(1)=e-1>0,f′(
1
2
)=
e
-2<0
,∴
1
2
<t<1

F(x)min=et+t=e
1
2
+
1
2
=
e
+
1
2
2.25
+
1
2
=2

即函數y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
證法二:由于函數y=f(x)和y=g(x)的偏差:F(x)=|f(x)-g(x)|=ex-lnx,x∈(0,+∞)
F1(x)=ex-x,x∈(0,+∞);令F2(x)=x-lnx,x∈(0,+∞)
F1(x)=ex-1,F2(x)=1-
1
x
=-
1-x
x
,
∴F1(x)在(0,+∞)單調遞增,F2(x)在(0,1)單調遞減,在(1,+∞)單調遞增
∴F1(x)>F1(0)=1,F2(x)≥F2(1)=1,
∴F(x)=ex-lnx=F1(x)+F2(x)>2
即函數y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
點評:本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性與最值,考查新定義,正確求導,理解新定義是解題的關鍵.
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1
a2
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2
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