Question

已知拋物線C的方程為：y²=4x，直線l過（-2，1）且斜率為k≥0，當k為何值時，直線l與拋物線C（1）只有一個公共點，（2）有兩個公共點．

Answer 1

分析：（1）當k=0時，直線l的方程為y=1，此時直線l與拋物線C只有一個公共點．k＞0時，直線l的方程為y-1=k（x+2），當直線l與拋物線相切時，直線l與拋物線C只有一個公共點．把直線的方程與拋物線的方程聯立得到一元二次方程，利用△=0即可得出．
（2）k＞0時，把直線的方程與拋物線的方程聯立得到一元二次方程，利用△＞且k≠0即可得出．

解答：解：（1）當k=0時，直線l的方程為y=1，與拋物線C的方程聯立

y=1 y2=4x

，解得(

1

4

，1)，此時直線l與拋物線C只有一個公共點．
k＞0時，直線l的方程為y-1=k（x+2），聯立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化為k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
當直線l與拋物線相切時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²=0，化為2k²+k-1=0，解得k=-1或

1

2

．
即當k=-1或

1

2

時，直線l與拋物線C只有一個公共點．
綜上可知：當k=0，-1或

1

2

時，直線l與拋物線C只有一個公共點．
（2）k＞0時，直線l的方程為y-1=k（x+2），聯立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化為k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
當直線l與拋物線相交時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²＞0，化為2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

1

2

．
故當-1＜k＜

1

2

且k≠0時，直線l與拋物線相交于兩個交點．

點評：本題考查了直線與拋物線相切與相交的位置關系轉化為方程聯立得到一元二次方程的判別式與0的大小關系解決，屬于難題．