Question

已知函數，在定義域內有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數列的前項和.
（I）求數列的通項公式；
（II）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數，令（n為正整數），求數列的變號數；
（Ⅲ）設（且），使不等式
恒成立，求正整數的最大值

Answer 1

解：（I）∵在定義域內有且只有一個零點
            ……1分
當=0時，函數在上遞增    故不存在，
使得不等式成立        …… 2分
綜上，得    …….3分

    …………4分                
（II）解法一：由題設
時，
時，數列遞增           
由               可知
即時，有且只有1個變號數；    又
即            ∴此處變號數有2個
綜上得數列共有3個變號數，即變號數為3           ……9分
解法二：由題設            
當時，令

又時也有   
綜上得數列共有3個變號數，即變號數為3      …………9分
（Ⅲ）且時，

可轉化為   ．
設，
則當且，

.
所以，即當增大時，也增大．
要使不等式對于任意的恒成立，
只需即可．因為，
所以.      即
所以，正整數的最大值為5．                             ……………13分

略