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已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）記函數的最小值為，求證：.
（Ⅰ）的單調遞增區間為；的單調遞減區間為；
（Ⅱ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）先求導，再令導數等于0，討論導數的正負得函數的增減區間。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.令還是先求導再令導數等于0，討論導數的正負得函數的單調區間，從而可求得此函數的最值。
試題解析：解：
的定義域為.
.            2分
令，解得或（舍）.
當在內變化時，的變化情況如下：

由上表知，的單調遞增區間為；的單調遞減區間為.
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.         6分
令，則.
令，解得.                                  8分
當在內變化時，的變化情況如下：

所以函數的最大值為，即.
因為，所以.                    11分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數．
（1）若，求函數的單調區間；
（2）若以函數圖像上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數f(x)的單調區間；
(2)若函數y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數g(x)＝x3＋x2 (f′(x)是f(x)的導函數)在區間(t,3)上總不是單調函數，求m的取值范圍；
(3)求證：×…×< (n≥2，n∈N*)

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業用地中規劃出一個高科技工業園區（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知其中AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線段．試求該高科技工業園區的最大面積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設函數.
（1）求的單調區間；
（2）設函數，若當時，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數．
（Ⅰ）若是上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當a≥1時，證明不等式≤x+1對x∈R恒成立；
（Ⅲ）對于在(0，1)中的任一個常數a，試探究是否存在x0>0，使得>x0+1成立？如果存在，請求出符合條件的一個x0；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數（為自然對數的底數）.
（1）求函數在上的單調區間；
（2）設函數，是否存在區間，使得當時函數的值域為，若存在求出，若不存在說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題13分) 已知函數（為自然對數的底數）。
(1)若，求函數的單調區間；
(2)是否存在實數，使函數在上是單調增函數？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由。恒成立，則，又，

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數，且，則當時， 的取值范圍是  （   ）
A．B．C．D．

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