Question

（2012•福建）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），（

2 3

3

，

π

2

），圓C的參數方程

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ為參數）．
（Ⅰ）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；
（Ⅱ）判斷直線l與圓C的位置關系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；
（Ⅱ）求出圓的圓心與半徑，判斷圓心與直線的距離與半徑的關系，即可判斷直線l與圓C的位置關系．

解答：解：（Ⅰ）M，N的極坐標分別為（2，0），（

2 3

3

，

π

2

），
所以M、N的直角坐標分別為：M（2，0），N（0，

2 3

3

），P為線段MN的中點（1，

3

3

），
直線OP的平面直角坐標方程y=

3

3

x；
（Ⅱ）圓C的參數方程

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ為參數）．它的直角坐標方程為：（x-2）²+（y+

3

）²=4，
圓的圓心坐標為（2，-

3

），半徑為2，
直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），（

2 3

3

，

π

2

），
方程為y=

3π

4 3 -12

（x-2），即3πx+（12-4

3

）y-6π=0．
圓心到直線的距離為：

|6π- 3 (12-4 3 )-6π|

(3π)2+(12-4π)2

=

12( 3 -1)

(3π)2+(12-4π)2

＜

12( 3 -1)

3π

＜2，
所以，直線l與圓C相交．

點評：本題考查圓的參數方程，極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直線與圓的位置關系，考查計算能力．