Question

已知函數y=f（x）是定義在區間[-

3

2

，

3

2

]上的偶函數，且x∈[0.

3

2

]時，f（x）=-x²-x+5
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）將函數g（x）=-x²-x+5，x∈[0.

3

2

]的圖象按向量a=（1，b）（b∈R）平移得到函數h（x）的圖象，求函數h（x）的解析式并解不等式h（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的定義可知先求出函數在區間[-

3

2

，0]上的函數解析式，從而求出函數y=f（x）在區間[-

3

2

，

3

2

]上的解析式；
（2）先根據向量平移求出函數h（x）的解析式，然后討論b的范圍，分別求出不等式h（x）＜0的解集．

解答：解（1）當x∈[-

3

2

，0]時，-x∈[0，

3

2

]∴f（-x）=-（-x²）-（-x）+5=-x²+x+5
∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）∴f（x）=-x²+x+5，x∈[-

3

2

，0]
∴f（x）=

-x2+x+5     x∈[- 3 2 ，0] -x2-x+5      x∈(0 3 2 ]

（2）依題意 y=-x2-x+5，x∈[0，

3

2

]①
將y′=y+b，x′=x+1代入①得 y-b=-（x'-1）²-（x'-1）+52  且x-1∈[0，

3

2

]
∴h（x）=-x²+x+5+b且x∈[1，

5

2

]
由h（x）＜0    1≤x≤

5

2

  b＜x²-x-5
設y₁=by₂=x²-x-5    x∈[1，

5

2

]
易知y₂在[1，

5

2

]↑，(y2)min=-5，(y2)max=-

5

4

則當b＜-5時，解集為{x|1≤x≤

5

2

}，當b=-5時，解集{x|1＜x≤

5

2

}
當b≥-

5

4

時，解集為φ；
當-5＜b＜-

5

4

時，由x²-x-5-b=0解的x1=

1- 21+4b

2

（舍）x2=

1+ 21+4b

2

解集為{x|

1+ 21+4b

2

＜x≤

5

2

}

點評：本題綜合考查了函數的基本性質，已知奇偶性求函數解析式的問題，以及圖象的平移和解不等式，屬于中檔題．