Question

如圖7，在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC.

圖7

(1)求證:OD∥平面PAB；

(2)當k=時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

(3)當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

(1)證明:∵O、D分別為AC、PC的中點，∴OD∥PA.

又PA平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(2)解:∵AB⊥BC,OA=OC,

∴OA=OB=OC.

又∵OP⊥平面ABC,

∴PA=PB=PC.

取BC中點E,連接PE,則BC⊥平面POE.

作OF⊥PE于F,連接DF,則OF⊥平面PBC.

∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成的角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF==,

∴PA與平面PBC所成角的正弦值為.

（3）解:由(2)知OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC內的射影.

∵D是PC的中點，若點F是△PBC的重心，則B、F、D三點共線.

∴直線OB在平面PBC內的射影為直線BD.